Penseur

lundi, juin 04, 2007

Un problème de baignoires

Autheuil a signé aujourd'hui un billet dans lequel il critique le côté polémique ("aveugle et borné[.]", dit-il même) de ceux qui reprochent à Nicolas Sarkozy de ne pas avoir démissionné de son poste au conseil général des Hauts-de-Seine. Pour dénoncer cette "mauvaise foi", il finit en disant qu'en brassant autant d'air (j'anticipe la métaphore, cela ne veut pas dire que je partage son opinion), on pourrait "faire trois baignoires de mousse avec un gramme de savon".

Il me donne ainsi le sujet du billet du jour : est-il possible, aussi gonflé soit-on, de réaliser un tel exploit ? Ou est-ce au contraire si aisé que l'argument tombe à l'eau (je vais arréter là les frais littéraires et la métaphore).

Regardons les ordres de grandeur. Un gramme de savon, cela représente à peu près un centimètre cube, car sa densité n'est pas très éloignée de celle de l'eau (0.9, 0.95, approximons à 1). Combien peut-on faire de bulles avec ce gramme ?

Une bulle de savon a une dimension millimètrique, donc un volume de l'ordre de 4 millimètres cubes, et une surface de 12 millimètres carrés. Là encore, approximativement. Si l'on fait l'hypothèse que tout le savon est rangé en épis à la surface des bulles (ce qui n'est pas tout à fait vrai, une bonne partie est en solution), et que chaque molécule de savon fait quelques nanomètres de long (disons, 3nm), cela représente un volume de 0.000 036 millimètres cubes ou 0.000 000 036 centimètres cubes. Divisons un centimètre cube par ce nombre, et nous obtenons qu'un gramme de savon permet, grosso modo, de former 30 000 000 bulles de savon. C'est un nombre généreux, puisqu'une partie du savon sera en solution. Un autre effet qui peut être important est que les bulles ne sont pas de taille homogène. Les bulles plus petites qu'un millimètre feront augmenter la surface, et donc le savon consommé, plus vite que le volume de mousse, tandis que les bulles plus grosses auront un effet inverse.

Combien de bulles par baignoires, maintenant ? Disons qu'une baignoire fait 1m50 de long et 50cm de large, et admettons qu'Autheuil ait exagéré en parlant de "remplir une baignoire de mousse". Disons plutôt qu'il s'agit de faire ce que tout le monde fait dans son bain, c'est-à-dire une couche de 20cm d'épaisseur environ de mousse, ce qui représente tout de même un joli bain moussant. Le volume total est de 1.5*0.5*0.2 = 0.15 mètres cubes, ou 0.45 pour trois baignoires. Reprenons nos trente millions de bulles de savon : à raison de 4 millimètres cubes par bulle (4 milliardièmes de mètre cube), cela fait 0.12 mètres cubes de mousse. L'ordre de grandeur est sensiblement le même, mais il manque tout de même un facteur 3. De plus, ce calcul utilise le fait que tout le savon sert à former des bulles, ce qui est faux puisqu'une grande partie de celui-ci reste en solution dans le bain. A moins de créer beaucoup de bulles (c'est-à-dire de mettre en contact beaucoup d'air avec l'eau du bain), ce qui peut se faire avec une agitation mécanique importante.

Nous avons donc trouvé le résultat suivant : la métaphore d'Autheuil est plutôt bien choisie, puisque ses opposants, qu'il accuse de brasser beaucoup d'air, seraient capable d'atteindre un volume de mousse du même ordre de grandeur que la mousse d'un bain !

2 commentaires:

Vicnent 31415 a dit…

la démonstration eut été parfaite s'il l'on avait trouvé CQFD à la fin.

;-)

Matthieu a dit…

peut-être, sauf que je ne savais pas ce qu'il fallait démontrer ! Je suis parti sans savoir quel serait le resultat.

D'ailleurs j'ai pensé à quelque chose que j'ai oublié dans le calcul : le volume total de mousse n'est pas la somme des volumes des bulles, mais plutot quelque chose comme un empilement de spheres. Il est peut-etre possible de multiplier le volume de mousse par 1.3-1.5. On se rapproche !